*以下の記事はiPhone5s→6への「復元」時のものですがiPhone6→iPhone6sの場合にも有用だと思います。
ポイントはずばり
【iPhone6】のiOSと【iTunes】を最新バージョンにすること!
つまり「乗り換え前の」端末と「乗り換え後の」端末と「乗り換えに使う」iTunesをどれも最新バージョンにするということです。
iOS 8はOSだけで4.6GBあったんですがiOS 9は1.3GBと大幅にサイズダウンされているので大助かりですね。
ちなみにiPhone6sはiPhone6とほぼ同じサイズなのでケースなどはそのまま使えるものも多いようです。参考まで。
【復元】に関してはこのやり方で上手くいった/いかなかったという情報があれば教えていただけると嬉しいです。